数学 公式 の 不思議 な 関係
s - 71
★ 長さ の 公式 を 積分する と 面積 の 公式 となる
２０１９ ８ １ In Put Test np - 71 ( 亀さん )
→ 
円 周 の 長 さ 円
の 面 積
L = 2 π r ∫ L d l = ∫ 2 π r d r = π r 2 = S
★ 面積 の 公式 を 積分する と 体積 の 公式 となる
→ 
円 の 面 積 円 錐 の 体 積
S = π r 2 ∫ S d s = ∫ π r 2 d r = (2/3) π r 3 = V
円 の 面 積 を 積 分 すると 円 錐 の 体 積 となるのは 、 円 の 中 心 をつまんで 引き上げる と 円 錐 となる
ためでしょうか お笑いです
★ 球 の 表 面 積 公 式 は この 球 を 内 接 する 円 筒 の 側 面 関 の 公 式
と 同 じ ことを 発 見 しました
中 学 生 の 数 学 の 教 科 書 にのっておりました
半 球 に 太めの 毛 糸 を 巻きつけ ました、この 半 球 を 内 接 する 円 筒 に 同じく
太めの 毛 糸 を 側 面 に 巻き付け ました
巻 き 付 け た 毛 糸 の 長 さ は 共 に 等
し かった という。
従って、半 球 の 表面積 とこの 半球 を内接する 円筒 の 側面関 は等しいことが 理 解 できます。
球 の 表面積 の 公 式 S = 4 π r 2 の 導 き方 は いろいろ あります
① 球 の 表 面 積 の 求 め 方 (1)
表 面 積 の 変 化 量 が 一定 になるように、積分方向 を変えて、球 の 表 面 に沿って 積 分 する
図 において 円 周 を 球 の 表 面 に沿った l 方向に積分 すると、
S = 2 ∫ 0r π √ (r2 -x2) d l より、 l = r θ なので、 x = r sin θ と 置 換 すると、
S = 4 π r 2 ∫ 0 π/2 √ ( r2 - r2 sin2 θ) r dθ
= 4 π r 2 ∫ 0 π/2 cosθ dθ = 4 πr2 〔 sinθ〕 0π/2 = 4 π r2
となり、 球 の 表 面 積 の 公 式 を 導 くことができる
② 球 の 表 面 積 の 求 め 方 (2)
図 の ような コーン ( 円 錐 体 ) を考える。
図 では、１ 個 しかないが、これが 球 面 上 に 密 集 しているように
沢 山 詰 め
込 ま れ ていると 想 像 してください。 コーン の 高
さ は r と 等 しいとします。
詰 め 込 ま れ た コーン の数を n 個 とすると
１個 の コーン の 底 面 積 を Sc とすると、体 積 は Vc = (1/3) Sc r となる
n 個 の コーン の 底 面 積 の 総 和 を S とすると S = n Sc
体 積 の 総 和 を V とすると V = n Vc = n (1/3) Sc r である
ここで、コーン の 底 面 積 の 総 和 S = lim n→∞ Σ n Sc ≒ 球 の 表 面 積 となる
一方、 コーン の 体 積 の 総 和 V = lim n→∞ Σ n Vc ≒ (1/3) S r= 球 の 体 積 となる
従って、球 の 表 面 積 S と 体 積 V には、
次 の 等 式 V = (1/3) S r = (4/3) π r3 が 成り立つ。
よって、 S = 4 π r2 が 得られる
③ 球 の 表 面 積 の 求 め 方 (3)
球 の 表 面 に 図 に 示すように 微 小 面 積 を 考える。
これを、二 重 積 分 して 球 の 表 面 積 の 公 式 を 求める
二重積分、多重積分 は 高校時代 大学時代 に 勉 強 しませんでした。
難 しそうなので 無 意 識 的 に 拒 絶 反 応 があったのでしょう。
高等数学 に 一歩 入った 感 じです。
後 期 高 齢 者 8 0才 になってはじめて の 体 験、満 足 度 100 ％ です
▼ 球 を 内 接 する 円 筒 の 側 面 関 の 公 式 と 円 筒 の 全 面 積 の 公 式
側 面 関 Ss = 4 π r2 全 面 積 St = 6 π r2
Ss = (円周 の長さ) × 高 さ = 2πr × 2 r = 4 π r 2
St = Ss + (低面積 + 上面積) = 4πr 2 ＋ 2πr 2 = 6 π r 2
★ 体 積 比 円 錐 。 球 。 円 筒
円 筒 に 内 接 する 球 と 円 錐 において 面 白 い 関 係 を 発 見 しました
体 積 と 表 面 積 の 公 式
円 錐 V = (1/3) S h = (2/3) π r3 S = ( 1 + √5 ) π r2
球 V = (4/3) π r3 S = 4 π r2
円 筒 V = 2 π r3 S = 6 π r2
● 体 積 比 円 錐 “ 球 “ 円 筒 = 1 “ 2 “ 3
【 (2/3) πr3 】“ 【 (4/3) πr3】“ 【 2 πr3 】= (2/3) “(4/3) “2= 1 . ２ . 3
きれいな 体 積 比 です
● 体 積 と 表 面 積 の 公 式 大 発 見
“ 体 積 の 公 式 を 微 分 すると 表 面 積 の 公 式 となる “
円 錐 d V / d r =【 (2/3) π r3 】= 2 π r2 ≠ S = ( 1 +√5 ) πr2
球 dV / d r = 【 (4/3) π r3 】｀ = 4 π r2 = S
円 筒 d V / d r = 【 2 π r3 】｀ = 6 π r2 = S
さらに “ 表 面 積 の 公 式 を 積 分 すると 体 積 の 公 式 となる “
円 錐 ∫ S d r = ∫0 r 2 π r2 d r = (2/3) πr3 = V
球 ∫ S d r = ∫0 r 4 π r2 d r = (4/3) π r3 = V
円 筒 ∫ S d r = ∫0 r 6 π r2 d r = 2 π r3 = V
さらに 円筒 の 側 面 積 の 公 式 を 積 分 すると内接球 の 体 積 の 公 式 となる
∫ Sh d r = ∫ 0 r 4 π r2 d r = (4/3) π r3 = V
驚 きました 体 積 と 表 面 積 の 公 式 が 微 分 と 積 分 で 導 かれるとは
この 発 見 は 公 式 を 並べて 眺 めて いる中 に 気 づ き ました
摩 訶不 思 議 ひとり 悦 に 入っております
★ 【 微 分 と 積 分 の 関 係 】
球 の 体 積 の 公 式 を 微 分 すると 球 の 表 面 積 の 公 式 となります
更 に 、 球 を 内 接 す る 円 筒 の 側 面 関 と 等 し い
球 の 体 積 の 公 式 V = (4/3) π r3 dV / d r = 4 π r2 = 球 の 表 面 積 の 公 式
また 、 球 の 表 面 積 の 公 式 を 積 分 すると 球 の 体 積 の 公 式 になります
微 分 と 積 分 は 陰 陽 裏 表 の 関 係 にあることを 実 感 しました