お遊び の 数学　(そのー2)

s - 19

　　　頭の体操として数学問題の計算を暗算で行い脳細胞を刺激して認知症予防、

　　　　　ボケ防止にやくだてます。

　　なお、お遊びなので数学の問題を計算で求めることを手品、Magic になぞらえて

　　　　　計算は 手品 の 種明かし とします。

　( 例 題 )　　　　自然対数 　y ＝ log_e^x　の底 e (ネイピア数)　を計算で求める

　　　　　　　　 e = 2.71828182845905　　　鮒 一鉢 二鉢 一鉢 二鉢 至極 美味しい


★　　【 Magic - 1 】　e = 1 ＋1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ・・+ 1/( 1・2・3・・ n )　　　�@

　 　　　　　　　　　( 種 明かし )　　　上式の生まれをたどる

　　　　　　　　　関 数 は 無 限 級 数 で表せる　　　y ＝ f (x) ＝ �蚤_n ・ xⁿ 　　　n ＝ 0 → ∞
　　
　　　　　　　　y ＝ f (x) ＝ a₀ + a₁・x¹ + a₂・x² + a₃・x³ + ・ ・ + a_n・xⁿ　　 　　　　　　�A
　
　　　　　　　　　　　　　f (x) ＝ e^x　　とすると

　　　　　　　　y ＝f (x) ＝ e^x ＝ a₀ + a₁・x¹ + a₂・x² + a₃・x³ + ・ ・ + a_n・xⁿ

　　　　　　　　　　　x ＝ 0 　　 とおくと　　　　f (0) ＝ e⁰ ＝ 1 ＝ a₀ 　　　 よって　　a₀ ＝ 1

　　　　　　　　　　　　e^x　は　微 分 しても 積 分 しても 変わりません
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　y ＝ e^x ＝ y ′＝ (e^x) ′＝ e^x
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　y′＝ f (x) ′＝ (e^x) ′＝ a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ・・・ + na_nx^n-1

　　　　　　　　　　　x ＝ 0　　　とおくと　　　　f (0)′ ＝ e⁰ ＝ 1 ＝ a₁　　　よって　　a₁ ＝ 1

　　　　　　　　y ″＝ f (x) ″＝ (e^x) ″＝ 2a₂ + 3・2a₃x + ・・・ + n(n-1)a_nx^n-2

　　　　　　　　　　　x ＝ 0　　　とおくと　　　　f (0)″ ＝ e⁰ ＝ 1 ＝ 2a₂　　　よって　　a₂＝ 1/2

　　　　　　 　y³′＝ f (x) ³′＝ (e^x) ³′＝ 3・2a₃ + ・・・ + n(n-1)(n-2)a_nx^n-3

　　　　　　　　　　x ＝ 0　　　とおくと　　　　f (0)³′＝ e⁰ ＝ 1 ＝ 3・2a₃よって　　a3 ＝ 1/3・2

　　　　　　　　　　　　　以下　同様にこれを続けます

　　　　　　　　前記、無限級数　�A　式に　a₀ 　a₁　 a₂　 a₃ ・・・ を代入して、更に　x ＝ 1 とすると

　　　　　　　　　　�@　式　　e　＝ 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ・・・・・+ 1/n！

　　　　　　　　　　　　　　　＝ 1 + 1 + 0.5 + 0.166 + 0.041 + 0.008 + ・・・・＝　2.718281828

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が　得られます

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　無限級数 の 第 n 項 まで足したときの e の値を グラフ に描く


★　　 【 Magic - 2 】　　e　＝ 2.71828　は　 y ＝ log_ax 　を微 分 した答 え の中 に現れます


　　　　　　　　( 種 明かし )　　y ＝ log_ax　　を 微 分 する 展 開 式

　　　　　　　　　　　　dy/dx 　＝ lim_△x→0〔 log_a(x + △x) - log_ax〕 / △x

　　　　　　　　　　　　　　 　　＝ lim_△x→0(1/△x) log_a(x + △x) / x

　　　　　　　　　　　　　 　　　＝ lim_△x→0(1/△x)log_a(1 + △x/x)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△x/x ＝ h　とおくと　　△x ＝ hx

　　　　　　　　　　　　　　 　　＝ lim_h→0(1/hx)log_a(1 + h)　
　　　　　　　　　　　　　　　　




　　　　　　　　　　　　　　　 　＝ lim_h→0(1/x)log_a(1 + h) ^1/h　＝(1/x) log_ae





　　　　　　　　a ＝ e 　のとき　　y ′＝ dy/dx ＝　(log_ex) ′＝ 1/x

　　　　　　　　　　　 e＝ lim_h→0 ( 1 + h ) ^1/h　＝　2.71828

　　　　　　　　　　　　　　　　なお、　△x/x ＝ 1/k 　とおくと　△x ＝ x/k

　　　　　　　　　　　　　　　e ＝ lim_k→∞（1　+　1/ｋ）^ｋ　＝　2.71828


　　　　　h　および　k　 に　いろんな数 を入れて計算した結果をプロットしてグラフ を描く

　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　頭の体操　　数学の問題を、手品　Magic　として　表現してみました

　　　　　　　　　　　　　　　お遊び　とはいえ、少し品がないといわれましょうか



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　　　一次方程式　の　直 線　と　二次方程式　の　二 次 曲 線 で　囲まれた　面 積 の 公 式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　 　 　　　　　　　　　y₁ = a x + b 　　　　　　y₂ = c x² + d x + e

　　　　　y₃ = y₁ - y₂ = (a x + b) - (c x² + d x + e) = - c x² + (a - d) x + (b - e)　

　　　　　　　α = - 1/2c 【 - (a - d) +〔 (a -d)² - 4 ( - c) (b - e) 〕^1/2 】

　　　　　　　β = - 1/2c 【 - (a - d) -〔 (a -d)² - 4 ( - c) (b - e) 〕^1/2 】

　　　　二次方程式　　y₃ = -c x² + (a - d) x + (b - e)　　の 解　α　β　は

　　　　　　　　　一次直線 y₁　と　二次曲線 y₂　の　共有点　交点　である


　　　　　　　S = (β - α) ³ / 6

　　　　　　　　　　= 《　- 1/2c 【 - (a - d) -〔 (a -d)² - 4 ( - c) (b - e) 〕^1/2 】

　　　　　　　　　　　　　　　　　- 1/2c 【 - (a - d) +〔 (a -d)² - 4 ( - c) (b - e) 〕^1/2 】　》 / 6


　　　　　　　　この　公 式 を導く 展 開 式 を以下に記します










　　

積分して閉曲面の面積を求める公式